Арифметическая прогрессия

Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической прогрессией.

a_n+1 = a_n + d ,  n є N

Число d называют разностью арифметической прогрессии

d =  a_n+1 - a_n

Если разность между последующим и предыдущим членами последовательности есть одно и то же число, то это арифметическая прогрессия. Разумеется, при этом предполагается, что обнаруженная закономерность справедлива не только для явно выписанных членов последовательности, но и для всей последовательности в целом.

Арифметическая прогрессия считается конечной, если рассматриваются только ее первые несколько членов.

Арифметическая прогрессия является:

возрастающей последовательностью, если d > 0, например, 1, 3, 5, 7, 9,11,...

убывающей, если d < 0, например, 20,17, 14, 11, 8, 5, 2, -1, -4, ... .

Характеристическое свойство арифметической прогрессии:

, n>1

Таким образом, каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов. Этим объясняется название «арифметическая» прогрессия.

Арифметическая прогрессия может быть задана следующими способами:

а) рекуррентной формулой:  

б) формулой n-го члена:  a_n = a₁+ d · (n - 1)

в) формулой вида,  a_n = k·n + b ,  где k и b – числа,  n – номер ? N

Сумма n членов арифметической прогрессии:

Основные определения и данные для арифметической прогрессии сведенные в одну таблицу:

Определение арифметической прогрессии	an+1 = an + d
Разность арифметической прогрессии	d =  an+1 - an
Формула n-го члена  арифметической прогрессии	an = a1+ d · (n - 1)
Сумма n первых членов  арифметической прогрессии
Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Пример 1.

При хранении бревен строевого леса их укладывают так, как показано на рисунке. Сколько бревен находится в одной кладке, если в ее основании положено 12 бревен?

Решение.

Кладку бревен рассмотрим в виде арифметической прогрессии, где а₁= 1, а₂= 2, а_n= 12

d = 2 – 1 = 1

a_n = a₁+ d · (n - 1)

12 = 1 + n – 1

n = 12

Ответ: 78 бревен.

Пример 2.

Найти сумму двенадцати первых членов арифметической прогрессии, если: а₁ = -5, d = 0,5

Решение

Ответ: -27